【反函数公式】在数学中，反函数是一个重要的概念，它与原函数具有对称性。如果一个函数 $ f(x) $ 是从集合 $ A $ 到集合 $ B $ 的映射，那么它的反函数 $ f^{-1}(x) $ 就是从集合 $ B $ 到集合 $ A $ 的映射，使得两者满足互为逆运算的关系。
一、反函数的定义
若函数 $ y = f(x) $ 满足：对于每一个 $ x \in A $，都有唯一的 $ y \in B $；且对于每一个 $ y \in B $，也存在唯一的 $ x \in A $，使得 $ y = f(x) $，则称该函数是一一对应的，也称为双射函数。此时，可以定义其反函数 $ f^{-1}(y) $，使得：
$$
f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{和} \quad f(f^{-1}(y)) = y
$$
二、求反函数的步骤
1. 设原函数：令 $ y = f(x) $
2. 解方程：将 $ x $ 表示为 $ y $ 的函数，即 $ x = f^{-1}(y) $
3. 交换变量：通常将 $ x $ 和 $ y $ 互换，得到 $ y = f^{-1}(x) $
三、常见函数及其反函数
| 原函数 $ f(x) $ | 反函数 $ f^{-1}(x) $ | 定义域/值域说明 |
| $ f(x) = x + a $ | $ f^{-1}(x) = x - a $ | 全体实数 |
| $ f(x) = ax $ | $ f^{-1}(x) = \frac{x}{a} $（$ a \neq 0 $） | 全体实数 |
| $ f(x) = x^2 $ | $ f^{-1}(x) = \sqrt{x} $（仅当 $ x \geq 0 $） | 非负实数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f^{-1}(x) = \ln x $ | $ x > 0 $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f^{-1}(x) = a^x $ | $ x > 0 $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f^{-1}(x) = \arcsin x $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f^{-1}(x) = \arccos x $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ |
四、反函数的性质
1. 图像对称性：原函数与其反函数的图像关于直线 $ y = x $ 对称。
2. 单调性一致：如果原函数在某区间上单调递增或递减，则其反函数也在相应区间上保持单调性。
3. 可导性：若原函数在某点可导且导数不为零，则其反函数在对应的点也可导，且有：
$$
\left( f^{-1} \right)'(y) = \frac{1}{f'(x)}, \quad \text{其中 } y = f(x)
$$
五、总结
反函数是数学中一种非常基础且实用的概念，广泛应用于代数、微积分、几何等领域。掌握反函数的定义、求法以及性质，有助于更深入地理解函数之间的关系，并在实际问题中灵活运用。通过表格形式的整理，可以更清晰地看到不同函数与其反函数之间的对应关系，便于记忆与应用。
