【正交变换的定义】正交变换是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。它描述了一种保持向量长度和夹角不变的线性变换，通常与旋转、反射等操作相关。理解正交变换的定义及其性质有助于深入掌握向量空间的结构和对称性。
一、正交变换的定义
正交变换（Orthogonal Transformation）是指在内积空间中，保持向量之间内积不变的线性变换。换句话说，一个线性变换 $ T: V \to V $ 是正交变换，当且仅当对于任意两个向量 $ u, v \in V $，都有：
$$
\langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle
$$
其中，$ \langle \cdot, \cdot \rangle $ 表示内积。此外，正交变换还满足以下条件：
- 它是一个可逆线性变换；
- 其对应的矩阵 $ A $ 满足 $ A^T A = I $，即其转置等于其逆矩阵；
- 矩阵的行列式为 $ \pm 1 $。
二、正交变换的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||
| 保持内积 | 对于任意两个向量 $ u, v $，有 $ \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle $ | ||||
| 保持长度 | 向量的长度在变换后保持不变，即 $ \ | T(u)\ | = \ | u\ | $ |
| 保持角度 | 向量之间的夹角在变换后保持不变 | ||||
| 可逆性 | 正交变换一定是可逆的，且其逆变换也是正交的 | ||||
| 矩阵形式 | 若用矩阵表示，则满足 $ A^T A = I $，即正交矩阵 | ||||
| 行列式 | 行列式的绝对值为 1，且可能为 $ +1 $ 或 $ -1 $ | ||||
| 保基底 | 正交变换将正交基映射为另一个正交基 |
三、常见例子
| 变换类型 | 描述 | 是否正交 |
| 旋转 | 在平面上绕原点旋转一定角度 | 是 |
| 反射 | 关于某条直线或平面的镜像变换 | 是 |
| 平移 | 将所有点沿某一方向移动固定距离 | 否（非线性） |
| 缩放 | 改变向量长度 | 否（除非缩放因子为 ±1） |
| 齐次坐标下的变换 | 如平移、旋转、缩放组合 | 需看具体形式 |
四、应用领域
正交变换在多个学科中都有重要应用，例如：
- 计算机图形学：用于实现物体的旋转、翻转等操作；
- 物理学：描述空间对称性，如刚体运动；
- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等；
- 机器学习：用于数据降维和特征提取（如PCA）。
五、总结
正交变换是一种保持向量长度、夹角和内积不变的线性变换，其核心特征在于保持几何结构的完整性。通过正交矩阵的形式表达，使得计算和分析更加简洁高效。在实际应用中，正交变换不仅是数学工具，更是理解空间对称性和数据结构的重要手段。
