【三角函数基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式，有助于快速解决与角度和周期性相关的问题。以下是对三角函数基本公式的总结，结合表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本定义
三角函数通常基于直角三角形或单位圆来定义，主要包括以下六种函数：
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
其中，x 和 y 是单位圆上点的坐标，r 是半径（等于1）。
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些基本恒等关系，可以用于简化计算或推导其他公式。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ；cosθ = 1/secθ；tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
利用单位圆对称性，可以将任意角度转换为0°到90°之间的角度，便于计算。
| 角度变换 | 公式表达式 |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ；tan(π - θ) = -tanθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ；cos(π + θ) = -cosθ；tan(π + θ) = tanθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ；tan(-θ) = -tanθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ；cos(2π - θ) = cosθ；tan(2π - θ) = -tanθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ) |
七、积化和差公式
将乘积形式的三角函数转化为和或差的形式。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
八、和差化积公式
将和或差形式的三角函数转化为乘积形式。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上内容的整理，我们可以清晰地看到三角函数的基本公式体系，这些公式不仅是学习三角学的基础，也是解决实际问题的重要工具。建议在学习过程中多加练习，熟练掌握各类公式及其应用场景。
