【高等数学第六章微分方程公式】微分方程是高等数学中的重要内容，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。第六章主要介绍常微分方程的基本概念、分类及求解方法。以下是对本章内容的总结，并以表格形式展示相关公式。
一、基本概念
1. 微分方程：含有未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程（ODE）：只含有一个自变量的微分方程。
3. 偏微分方程（PDE）：含有多个自变量的微分方程。
4. 阶数：微分方程中最高阶导数的阶数。
5. 通解：包含任意常数的解。
6. 特解：满足初始条件或边界条件的解。
二、微分方程的分类
| 分类方式 | 类型 | 说明 |
| 按阶数 | 一阶微分方程 | 含有一阶导数 |
| 二阶微分方程 | 含有二阶导数 | |
| 按是否线性 | 线性微分方程 | 未知函数及其导数的次数为1 |
| 非线性微分方程 | 包含未知函数的乘积或高次项 | |
| 按是否齐次 | 齐次微分方程 | 方程右边为0 |
| 非齐次微分方程 | 方程右边不为0 |
三、常见一阶微分方程及其解法
| 方程类型 | 一般形式 | 解法 | 通解 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 分离变量后积分 | $ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C $ |
| 一阶线性方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 使用积分因子法 | $ y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right) $ |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ | 令 $ v = \frac{y}{x} $ | 通过替换后变为可分离变量方程 |
| 全微分方程 | $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ | 判断是否全微分 | 若全微分，则存在 $ u(x,y) $ 使得 $ du = 0 $，即 $ u(x,y) = C $ |
四、二阶微分方程及其解法
| 方程类型 | 一般形式 | 解法 | 特征方程 |
| 线性齐次方程 | $ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 $ | 根据系数是否为常数决定方法 | 常系数时使用特征方程 $ r^2 + pr + q = 0 $ |
| 常系数齐次方程 | $ y'' + ay' + by = 0 $ | 解特征方程 | $ r_1, r_2 $ 为根，根据情况分为三种情形 |
| 非齐次方程 | $ y'' + ay' + by = f(x) $ | 通解 = 齐次通解 + 特解 | 特解用待定系数法或常数变易法 |
五、典型特解形式（非齐次方程）
| $ f(x) $ 的形式 | 特解形式 |
| 常数 | $ A $ |
| 多项式 | $ x^k (A_0 + A_1x + \dots + A_nx^n) $ |
| 指数函数 $ e^{αx} $ | $ Ae^{αx} $ |
| 正弦/余弦 | $ A\cos αx + B\sin αx $ |
| 指数与三角函数乘积 | $ e^{αx}(A\cos βx + B\sin βx) $ |
六、总结
本章介绍了微分方程的基本概念、分类以及常见的求解方法。重点掌握一阶和二阶常系数线性微分方程的解法，尤其是齐次与非齐次方程的处理方式。理解不同类型的方程对应的解法，并能灵活运用积分因子、特征方程、待定系数等方法进行求解。
如需进一步了解具体例题或应用背景，可结合教材或参考资料进行深入学习。
