【狄利克雷函数表达式】狄利克雷函数（Dirichlet Function）是数学中一个经典的非连续函数，以其特殊的定义方式和性质在分析学中具有重要意义。它主要用于展示函数的不连续性、可积性等概念，常被用于数学教学和理论研究中。
该函数以德国数学家彼得·古斯塔夫·勒让德·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的名字命名，其定义基于有理数与无理数的区分。尽管形式简单，但它的性质却非常复杂，因此成为数学分析中的一个典型例子。
狄利克雷函数的表达式
狄利克雷函数通常定义如下：
$$
D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{当 } x \in \mathbb{Q} \\
0, & \text{当 } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
$$
其中，$\mathbb{Q}$ 表示所有有理数的集合，即可以表示为两个整数之比的数；而 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 表示所有无理数的集合。
狄利克雷函数的特性总结
| 特性 | 描述 |
| 定义域 | 所有实数 $\mathbb{R}$ |
| 值域 | $\{0, 1\}$ |
| 连续性 | 在任何点都不连续 |
| 可积性 | 在区间上不可黎曼积分 |
| 每点极限 | 在每一点的极限不存在 |
| 有理数与无理数的区分 | 函数值取决于输入是否为有理数 |
| 非周期性 | 虽然在某些意义上“处处”重复，但不具有传统意义上的周期 |
小结
狄利克雷函数虽然形式简单，但其性质却极具挑战性，尤其在连续性和积分方面表现出明显的“反直觉”特征。它揭示了数学中一些深层次的概念，如稠密性、极限的存在性以及积分的严格定义。因此，它是数学分析课程中不可或缺的一个例子，帮助学生理解函数行为的多样性与复杂性。
通过了解狄利克雷函数的表达式及其特性，我们能够更深入地理解实变函数的基本概念，并为后续学习更复杂的分析工具打下坚实的基础。
