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求特征方程的共轭复根，先把特征方程整理成 ar² + br + c = 0，其中 a、b、c 为实数，再计算判别式 Δ = b² - 4ac；当 Δ < 0 时，求根公式给出 r = (-b ± √Δ)/(2a)，此时把 √Δ 写成 √(-Δ)i，即可得到两个根 r₁ = -b/(2a) + √(-Δ)/(2a)i 与 r₂ = -b/(2a) - √(-Δ)/(2a)i，这两个根实部相等，虚部分别取正与取负，正好写成 α ± βi，其中 α = -b/(2a)，β = √(4ac - b²)/(2a)。
这里使用 Δ < 0 的判断条件，特征方程得到共轭复根，后续代入通解时，用 α 作为指数系数，用 β 作为三角函数频率系数，整个计算过程保持为实系数公式运算。
核心公式
| 项目 | 计算式 | 说明 |
|---|---|---|
| 特征方程 | ar² + br + c = 0 | a、b、c 为实数 |
| 判别式 | Δ = b² - 4ac | Δ < 0 对应共轭复根 |
| 根表达式 | r = (-b ± √Δ)/(2a) | 复根写成 α ± βi |
| 实部 α | α = -b/(2a) | 作为指数项系数 |
| 虚部 β | β = √(4ac - b²)/(2a) | 作为三角函数项系数 |
| 通解形式 | y = e^{αx}(C₁ cos βx + C₂ sin βx) | 适合二阶常系数线性微分方程 |
计算顺序
- 写出特征方程：把二阶常系数线性微分方程化为 ar² + br + c = 0。
- 计算判别式：代入 Δ = b² - 4ac，按实数运算得到数值。
- 提取实部与虚部：当 Δ < 0 时，β = √(4ac - b²)/(2a)，α = -b/(2a)。
- 写出共轭复根：得到 r₁ = α + βi，r₂ = α - βi。
- 代入通解：用 y = e^{αx}(C₁ cos βx + C₂ sin βx) 表示通解。
示例：求 r² + 4r + 5 = 0 的共轭复根
| 项 | 数值 |
|---|---|
| a | 1 |
| b | 4 |
| c | 5 |
| Δ | 4² - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 |
| α | -b/(2a) = -4/2 = -2 |
| β | √(4ac - b²)/(2a) = √(20 - 16)/2 = 1 |
按计算顺序，r = (-b ± √Δ)/(2a) = (-4 ± 2i)/2 = -2 ± i，因此两个根为 r₁ = -2 + i，r₂ = -2 - i，通解为 y = e^{-2x}(C₁ cos x + C₂ sin x)。
【常见问题】
问题1：特征方程的共轭复根怎么求，二阶常系数微分方程的通解怎么写？
回答1：求特征方程的共轭复根怎么求时，先写特征方程 ar² + br + c = 0，计算 Δ = b² - 4ac；当 Δ < 0 时，根为 r = α ± βi，其中 α = -b/(2a)，β = √(4ac - b²)/(2a)，通解写成 y = e^{αx}(C₁ cos βx + C₂ sin βx)。
问题2：特征方程的共轭复根怎么求，虚部 β 怎么从 Δ 得到？
回答2：关于特征方程的共轭复根怎么求，当 Δ < 0 时，β = √(-Δ)/(2a) = √(4ac - b²)/(2a)，这个 β 用作三角函数频率系数。
问题3：特征方程的共轭复根怎么求，二次特征方程里的 a 取其他实数时还按公式吗？
回答3：特征方程的共轭复根怎么求时，a 作为实数系数按 r = (-b ± √Δ)/(2a) 代入即可；a 为其他实数值时，计算式保持一致。
问题4：特征方程的共轭复根怎么求，可以用指数形式写通解吗？
回答4：求特征方程的共轭复根怎么求得到 r = α ± βi 后，可把基础解写成 e^{αx}cos βx 与 e^{αx}sin βx，也可写成 y = e^{αx}(C₁cos βx + C₂sin βx)。
免责声明：本节用于说明特征方程的共轭复根怎么求的通用计算流程，符号写法与教材约定按课程要求保持一致。
