【定积分求导怎么算】在微积分中，定积分的求导是一个重要的知识点，尤其在学习牛顿-莱布尼兹公式和微分学与积分学的关系时。定积分的求导通常涉及对积分上限或下限进行求导，或者对积分中的变量进行求导。本文将总结常见的定积分求导方法，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
1. 定积分：设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则其定积分表示为
$$
\int_a^b f(x) \, dx
$$
是一个数值，表示曲线 $ y = f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 下的面积。
2. 不定积分：
$$
F(x) = \int f(x) \, dx
$$
是 $ f(x) $ 的一个原函数。
3. 变限积分：
$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt
$$
其中积分上限是变量 $ x $，这种形式在求导时需要用到“变限积分求导法则”。
二、定积分求导的方法
| 情况 | 表达式 | 求导方法 | 说明 |
| 1 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ | $f(x)$ | 基本定理：积分上限为 $ x $ 时，导数为被积函数本身 |
| 2 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{g(x)} f(t) \, dt$ | $f(g(x)) \cdot g'(x)$ | 使用链式法则，积分上限是函数 $ g(x) $ |
| 3 | $\frac{d}{dx} \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt$ | $f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)$ | 上下限均为函数时，使用上下限分别求导并相减 |
| 4 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt + \int_{x}^{b} f(t) \, dt$ | $0$ | 积分上下限互为相反，导数为零（可合并为常数） |
| 5 | $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt \cdot \int_{x}^{b} f(t) \, dt$ | 应用乘法法则 | 导数为两部分的导数之和 |
三、示例解析
示例1：
$$
\frac{d}{dx} \int_1^x t^2 \, dt = x^2
$$
示例2：
$$
\frac{d}{dx} \int_0^{\sin x} e^t \, dt = e^{\sin x} \cdot \cos x
$$
示例3：
$$
\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{x^3} \ln t \, dt = \ln(x^3) \cdot 3x^2 - \ln(x^2) \cdot 2x
$$
四、注意事项
- 只有当积分函数 $ f(x) $ 在积分区间内连续时，才能使用上述规则。
- 如果积分上下限是常数，则导数为 0。
- 当积分中同时含有变量和参数时，需注意区分变量和参数。
五、总结
定积分的求导本质上是利用微积分基本定理和链式法则来处理变限积分的问题。掌握这些方法不仅有助于解题，还能加深对积分与微分关系的理解。通过表格对比不同情况下的求导方式，可以更清晰地理解和应用相关知识。
如需进一步了解具体题型的解法或应用实例，欢迎继续提问。
