【大学常用极限公式有哪些】在大学数学课程中，极限是微积分和数学分析的基础内容之一。掌握常用的极限公式不仅有助于理解函数的变化趋势，还能在求导、积分、级数等后续学习中发挥重要作用。以下是一些大学阶段常见的极限公式，以加表格的形式进行展示。
一、基本极限公式
1. 常数极限
$\lim_{x \to a} C = C$（其中 $C$ 为常数）
2. 多项式极限
$\lim_{x \to a} x^n = a^n$（$n$ 为正整数）
3. 指数函数极限
$\lim_{x \to 0} e^x = 1$
$\lim_{x \to \infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
4. 对数函数极限
$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
$\lim_{x \to \infty} \ln x = +\infty$
5. 三角函数极限
$\lim_{x \to 0} \sin x = 0$
$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
二、重要极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 第一个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用于三角函数的极限计算 |
| 第二个重要极限 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 定义自然对数的底 $e$ |
| 指数型极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 与导数定义相关 |
| 对数型极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 用于对数函数的泰勒展开 |
| 无穷小比较 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ | 用于高阶无穷小的比较 |
三、洛必达法则适用的极限
当遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
（前提是右边极限存在）
四、常见极限类型总结
| 极限类型 | 示例 | 说明 |
| 0/0 型 | $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x}$ | 可化简或使用洛必达法则 |
| ∞/∞ 型 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1}$ | 可通过分子分母同除最高次项处理 |
| 1^∞ 型 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 常见于指数函数极限 |
| 0·∞ 型 | $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x$ | 转化为 0/0 或 ∞/∞ 后处理 |
| ∞ - ∞ 型 | $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ | 需有理化或通分处理 |
五、总结
大学阶段常用的极限公式涵盖了基本函数、特殊极限、洛必达法则以及多种不定式处理方法。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对数学本质的理解。建议在学习过程中多结合图形、代数变形和实际例子进行练习，从而更好地理解和应用这些极限知识。
附：常用极限公式汇总表
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| sinx/x 极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数基础极限 |
| (1+1/x)^x 极限 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 自然对数底 e 的定义 |
| e^x - 1 / x | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数导数基础 |
| ln(1+x)/x | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数导数基础 |
| 1 - cosx / x² | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数常用极限 |
| x·lnx | $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0$ | 0·∞ 型极限 |
| sqrt(x² + x) - x | $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = \frac{1}{2}$ | ∞ - ∞ 型极限 |
